图像
横轴 t · 纵轴 x/t斜率：，所以 。
纵截距：。
面积不能直接当作位移；这里的纵轴不是瞬时速度。
必修一 · 第二章
匀变速直线运动的研究
加速度恒定的直线运动
必修一 · 第二章
公式速览
点击公式查看物理量与推导。
课本公式 可直接在答题卡上使用；未加框的运动公式为推论，解答题中不能直接引用，需先写出推导过程。
基本公式与常用变式
知识页 ↗加速度恒定的直线运动；各方向量采用同一个正方向。
速度与时间
已知时间，联系初、末速度。
位移与时间
已知时间，联系位移。
速度与位移
没有时间、也不要求时间时。
初、末速度求位移
已知初、末速度和时间。
末速度求位移
由 代入位移—时间式得到。
平均速度与中时速
知识页 ↗同一段匀变速直线运动，时间 。
平均速度
用初、末速度求平均速度。
中时速
一段的平均速度等于中间时刻的速度。
中位速
知识页 ↗匀变速直线运动，全程不反向，取运动方向为正； 为这一段的非零位移。
中间位置速度
题目出现“一半位移”“中点”。
与中时速比较
匀速取等号；速度变化时取大于号。
位移差与逐差法
知识页 ↗同一匀变速过程按时长 连续分段； 是每段位移，非累计位移。
相邻两段
相邻等时位移差相同。
不相邻两段
；乘段号之差。
6 段逐差
7 段逐差
初速度为零的比例关系
知识页 ↗从静止开始的匀加速直线运动，取运动方向为正，；从静止出发点开始等分， 为正整数。
等分时间 · 每段时长为
时刻速度
累计位移
各段位移
等分位移 · 每段长度为
位置速度
累计时间
各段时间
自由落体
知识页 ↗只受重力，从静止开始下落；向下为正， 视为恒定。
速度与时间
高度与时间
速度与高度
竖直上抛
知识页 ↗只受重力；抛出点为原点，向上为正，时间从抛出时计起。
速度与时间
位移与时间
速度与位移
最高点
返回原高度
纸带实验
知识页 ↗沿用实验页的纸带：每两计数点间另有 4 个计时点。这里 是打点周期，计数间隔为 。
D 点速度
6 段求加速度
追及相遇 · 位置关系
知识页 ↗两车沿同一直线运动，初始 A 在前、B 在后，相距 ；取向前为正。 为从同一计时起点算起的位移。
两车间距
相遇条件
综合方法 · 特殊图像
特殊图像
先认清横、纵轴，再把运动规律改写成对应形式。
① 写出公式
把横轴量作为自变量、纵轴量作为因变量。
② 看斜率
直线写成 ，比较系数，确定斜率与截距的含义。
③ 看面积
把“纵轴量 × 一小段横轴量”与物理公式对应起来。
前三种图像讨论匀变速直线运动，x 为从计时起点开始的位移；含 t 的分母均取 t>0。
图像
横轴 1/t · 纵轴 x/t²斜率：。
纵截距：，所以 。
读两点斜率时，横坐标差是 ，不是 。
图像
横轴 x · 纵轴 v²斜率：，所以 。
纵截距：。
纵轴读数是速度的平方；开方只能得到速率，方向另判。
图像
横轴 x · 纵轴 1/v面积表示经过这段位移的时间
把位移分成很小的区间，每一窄条的面积近似等于通过该区间的时间。分得越细，面积之和越接近总时间。
图线与横轴围成的面积＝所用时间。
不要求匀变速，但这里限定 v>0；斜率不能直接当作加速度。若图线是直线，可写成 ，再由面积求时间。
斜率先看公式中的系数；面积先看小区间的乘积。不是每种图像的斜率、面积都有常用的物理意义。
2.5 · 综合方法
追及相遇问题
先画运动示意图，再用公式或 图联系两车的运动。
约定：两车沿同一直线运动，初始 A 在前、B 在后，相距 ；取向前为正。 都是从同一计时起点算起的位移。
01公式法 · 用位置关系列方程
- 分别判断运动性质，选用基本运动公式，写出两车位移。
- 由运动示意图建立位置关系：相遇时，B 比 A 多走的位移恰好等于初始间距。
- 解出时刻后，检查是否在题设时间及对应运动阶段内。
求间距时还要考虑两车前后位置是否交换；实际间距始终非负。
查看两条位置关系 →02图像法 · 用有向面积求位移差
把两车的运动画在同一 图中。同一时间段内，B 的有向面积减去 A 的有向面积，就是 。从计时起点累计的位移差达到 时，两车相遇。
只改初始间距，速度图不变
本例 A 从静止以 加速，B 以 匀速；相遇后仍按原规律运动，互不影响。
时同速，B 比 A 多走的位移达到最大值 。选择初始间距：
两次相遇
初始间距小于 。先是 B 追上 A，随后 A 又追上 B。
一次相遇
初始间距恰好等于 。两车在同速时恰好相遇。
不相遇
初始间距大于 。同速时最近，仍相距 。
同速、面积抵消与分段运动
同速不等于相遇
交点只表示速度相同。间距是否出现极大或极小值，还要结合前后速度关系与位置关系判断。
面积抵消只说明净变化为零
若一段时间内两车位移相同，结束时的相对位置与开始时相同；过程中仍可能接近、相遇或远离。
先标节点，再分段
启动、变速、限速、停车都是分界。逐段画图，累计位移差；列式时也要衔接各段的初始位置与速度。
刹车到零后保持静止
停车后的图线沿时间轴延伸；位移保持为停车位移，不能把原匀减速公式延伸成反向运动。
2.1 · 实验
探究小车速度随时间变化的规律
课本公式 可直接在答题卡上使用；未加框的运动公式为推论，解答题中不能直接引用，需先写出推导过程。
01记录运动
- 安装器材，纸带、细绳与运动方向保持一致。
- 先接通电源，再释放小车。
- 结束后断电，选取点迹清晰、连续的一段纸带。
- 选一个点为计数起点，依次标号；它不一定是释放点。
02由纸带求 D 点的速度
电源频率为 ，打点周期 。
C 到 E 跨过两段计数间隔，故 ，所用时间为 0.20 s。数的是时间间隔，不是点的个数。
、 都从 O 点量起；匀变速时，CE 段的平均速度等于中间时刻 D 点的速度。
图中 ，。
03求加速度
图像法
- 横轴标时间，纵轴标速度，写明单位，选好标度。
- 用铅笔准确描点，再用直尺画一条直线，让点尽量均匀分布在直线两侧。
- 直线延伸到纵轴，且不超出坐标轴所表示的范围。
- 从直线上取相距较远的 P、Q 两点，用斜率求加速度。
易错点
不用铅笔、直尺；逐点直接连接；直线没有延伸到坐标轴；直线超出坐标轴。
不强迫直线过原点；读斜率所用两点应取自直线，不必是原来的实验点。
逐差法
把 O—F 的六段位移依次记为 到 ，每段时间为 。后 3 段与前 3 段配对作差，再取平均。
本例六段位移依次为 2.5、3.5、4.5、5.5、6.5、7.5 cm，代入得 。
查看 6 段、7 段的配对图与推导 →04检查与判断
时间间隔别混淆
打点周期是 0.02 s，本例计数间隔是 0.10 s；求 D 点速度用的是两段计数间隔，共 0.20 s。
频率变化怎么判断
若实际频率高于 50 Hz，却仍按 50 Hz 计算：真实时间更短，所用时间偏大，求得的速度、加速度都偏小。实际频率偏低时，结果相反。
起点与测量
小车初始应紧靠计时器，以保留足够长的有效纸带。各位置统一从 O 点量起，读数时视线正对刻度。
选有效过程
取小车受持续牵引、点迹清晰的一段；不使用重物落地以后或小车被阻挡的点迹。
2.3.1 · 从图像理解位移
图像与微元法
有向面积表示位移
物体先沿正方向运动，再沿负方向运动。
图中上方面积为 4 m，下方面积大小为 1 m。
位移：4 − 1 = 3 m
路程：4 + 1 = 5 m
先判断面积的正负，再相加；不能把负向运动的面积也作为正位移。
曲线下面积：分割 → 近似 → 累加 → 趋近
把时间分成许多小段；每段足够短时，速度变化很小，可近似看成匀速运动。
把小矩形面积相加，便得到总位移的近似值。分得越细，越接近曲线与时间轴围成的有向面积。
2.2 — 2.3.2 · 基本规律
匀变速直线运动
加速度恒定的直线运动
课本公式 可直接在答题卡上使用；未加框的运动公式为推论，解答题中不能直接引用，需先写出推导过程。
由加速度定义整理
已知时间，联系初、末速度。
由速度图像的梯形面积得到
已知初速度、加速度和时间，求位移。
将前两式消去时间
题目没有时间，也不要求时间时，优先考虑。
由速度图像的梯形面积得到
已知初、末速度和时间，不必先求加速度。
把初速度换成末速度
由 代入位移—时间式。已知末速度、加速度和时间时使用。
先选正方向，再代入带正负号的速度、加速度和位移。点开公式可查看符号、适用条件与选用建议。
2.3.3 · 推论
平均速度、中时速与中位速
课本公式 可直接在答题卡上使用；未加框的运动公式为推论，解答题中不能直接引用，需先写出推导过程。
推导：位移等于梯形面积
已知初、末速度与运动时间时，求位移很方便。
推导：速度随时间均匀变化
将一段平均速度转成中间时刻的瞬时速度；纸带求速度常用。
推导：前后半程各用速度—位移式
题目出现“中点”“一半位移”时使用；这里取运动方向为正且全程不反向。
时间一半 ≠ 位移一半
A 两侧时间相等，但右侧面积更大。B 两侧面积相等，因此 B 才对应中间位置。
同向匀加速、匀减速都满足这一比较；只有匀速时取等号。
2.3.3 · 推论与实验方法
位移差与逐差法
课本公式 可直接在答题卡上使用；未加框的运动公式为推论，解答题中不能直接引用，需先写出推导过程。
把匀变速直线运动分成连续、相等的时间段，每段时长记为 ，各段位移依次记为 。
相邻两段
推导：前两段累计位移作差，再相减。推荐用来判断是否匀变速或直接求加速度。
不相邻的等时间段
推导：把相邻位移差连续相加。推荐在已知第 2 段、第 5 段等不相邻数据时使用；序号相差 3，差值就是 3 倍。
6 段：前 3 段与后 3 段配对
7 段：略去中间第 4 段，再配对
逐差法利用多段数据减小偶然误差。T 是每段的时间；若每段含 5 个打点间隔，50 Hz 时 T = 0.10 s。
← 回到纸带实验2.3.4 · 常用推论
初速度为零的比例关系
从静止开始的匀加速直线运动。
课本公式 可直接在答题卡上使用；未加框的运动公式为推论，解答题中不能直接引用，需先写出推导过程。
连续相等时间
推导：速度正比于时间
比较 时刻的速度。
推导：位移正比于时间平方
比较从出发点到各时刻的总位移。
推导：相邻累计位移作差
用于连续等时纸带、频闪照片、水滴位置。
连续相等位移
推导：速度平方正比于位移
比较等距位置处的速度。
推导：由位移—时间式解出时间
比较从出发开始到各等距位置的总时间。
推导：相邻累计时间作差
比较通过每一个等长路段的时间。
2.3.4 · 解题方法
逆向思维
末速度为零的匀减速直线运动，
可以视为反向的、初速度为零的匀加速直线运动。
遇到“停止前最后几秒”“最后几段相等位移”，先把停止点当作静止出发点，再使用初速度为零的比例关系。
查看比例关系 →2.4.1 · 运动模型
自由落体运动
物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动。
课本公式 可直接在答题卡上使用；未加框的运动公式为推论，解答题中不能直接引用，需先写出推导过程。
取竖直向下为正方向，，。将它们代入匀变速运动的三个基本公式。
由下落时间求速度。
联系下落高度与时间。
不涉及时间，联系高度与速度。
g 的大小按题目取值，方向始终竖直向下。已经有向下初速度的运动，不属于从静止开始的自由落体。
2.4.2 · 典型题
自由落体的综合应用
水滴过窗 · 化多为一
屋檐每隔相等时间滴下一滴水。第 5 滴正欲滴下时，第 1 滴恰好落地，第 3、2 滴分别在高 1 m 的窗户上、下沿。水滴均从静止开始下落，忽略空气阻力，取 。求滴水间隔与屋檐高度。
把多滴水，变成一滴水的等时记录
从上到下对应 0、T、2T、3T、4T。窗户在 2T 与 3T 两个位置之间，是第三段。
四段下落距离之比为 1 : 3 : 5 : 7。窗高对应 5 份，总高度对应 16 份。
第一段为 0.20 m，由自由落体位移公式求滴水间隔。
滴水间隔 0.20 s；屋檐高度 3.2 m。
杆过圆筒 · 固定一个端点
杆长、圆筒长、初始间隙均为 L。细杆由静止竖直释放，忽略空气阻力，且杆与筒不接触。求开始入筒的时间、完全穿出时的速度及通过时间。重力加速度为 g。
开始入筒：A 下落 L。完全穿出：A 下落 3L，不能只算圆筒长度。
t₁、t₂ 都从释放时计时；通过时间是两者之差。
跳伞运动 · 从后往前衔接过程
运动员从悬停飞机上由静止下落，在离地 265 m 处开伞，以 的加速度大小匀减速至 ，再匀速 28 s 落地。取 。求开伞速度、初始高度及总时间。
先求匀速段：140 m；匀减速段：265 − 140 = 125 m。
再从开伞速度反推自由落体高度和时间。
2.4.2 · 运动模型
竖直上抛运动
以一定的初速度竖直向上抛出，只在重力作用下的运动。
课本公式 可直接在答题卡上使用；未加框的运动公式为推论，解答题中不能直接引用，需先写出推导过程。
以抛出点为原点，竖直向上为正方向，。上升和下降使用同一组公式。
速度为正表示上升，为负表示下降。
y 是相对抛出点的位移。
不涉及时间；求出速率后仍需判断方向。
最高点与返回原高度
令最高点速度为零
得到上升时间与最大上升高度。
利用上升、下降的对称性
仅用于返回抛出高度；落到更低处不能直接倍时。
对称关系
同一高度
上升、下降的速率相等，速度方向相反。
同一段高度
上升所用时间，等于下降所用时间。
最高点
速度瞬时为零，加速度仍竖直向下，大小为 g。