1.1 · 质点与参考系

质点与参考系

机械运动：物体相对于其他物体的位置随时间变化。

研究地球公转可看作质点，研究自转则不能。

质点

用来代替物体的有质量的点，是一种理想化模型。

物体的大小、形状对所研究问题的影响可以忽略时，才能看作质点。

能否看作质点取决于研究的问题，与物体本身大小无直接关系。

乘客相对车厢静止，相对地面运动。

参考系

描述物体运动时，选作参照的其他物体。

参考系原则上可以任意选取，实际以便于研究问题为主。

参考系不同，运动描述可能不同；比较物体的运动，须采用同一参考系。

1.2 · 时间与位置

时刻与坐标系

时刻是时间轴上的点，时间间隔是两点之间的段。

时刻与时间间隔

时刻表示某一瞬间：第 2 秒末＝第 3 秒初＝2 s 时。

时间间隔表示过程的持续时间：第 3 秒内是 2～3 s，前 3 秒内是 0～3 s。

坐标系的三要素

图中 A 的位置为 −2 m，B 的位置为 +3 m。

原点 O：位置坐标为 0，从这里量距离。
正方向：由坐标轴箭头规定，图中向右为正。
单位长度：每一格代表的实际长度，图中为 1 m。

坐标正负表示在原点哪一侧，不表示运动方向。

1.2 · 位置的变化

位移、路程与矢量

位移只由初、末位置决定，路程与运动路径有关。

位移

由初位置指向末位置的有向线段，描述物体位置的变化。

路程

物体运动轨迹的总长度。

路程 ≥ 位移大小
仅在单向直线运动中，路程等于位移大小。

矢量

既有大小，又有方向，如位移、速度、加速度。一维运动中，正负表示方向，绝对值表示大小。

标量

只有大小，没有方向，如路程、时间间隔、速率。

1.3 · 位置变化的快慢

平均速度与瞬时速度

速度：描述位置变化的快慢和方向

比较	平均速度	瞬时速度
定义	位移与对应时间间隔之比	物体在某一时刻或某一位置的速度
对应	一段过程	某一瞬间
方向	与这段过程的位移同向	与该时刻运动方向相同
求法		用该时刻附近极短时间内的平均速度近似

两者都是矢量。匀速直线运动中，任意一段的平均速度等于各时刻的瞬时速度。

速率：只描述快慢

比较	平均速率	瞬时速率
定义	总路程与总时间之比	瞬时速度的大小
对应	一段过程	某一瞬间
求法		$\|v\|$ ，如汽车速度表的读数
与速度的关系	一般不等于平均速度的大小；单向直线运动时相等	始终等于瞬时速度的大小

两者都是标量。往返原点时，平均速度为零，平均速率不为零。

分段运动的平均速度

$v_1,v_2$ 表示两段各自的平均速度。

两段时间相等。

单向运动，两段位移相等。

1.4 · 速度变化的快慢

速度变化与加速度

加速度：速度变化量与发生这一变化所用时间之比。

速度变化量：末速度减初速度，均带方向正负号。

加速度：描述速度变化的快慢，方向与速度变化量相同。

物理量	物理意义	单位
速度 $v$	位置变化的快慢和方向	m/s
速度变化量 $\Delta v$	速度改变了多少	m/s
加速度 $a$	速度变化的快慢和方向	m/s²

加速、减速由速度与加速度的方向关系决定。

方向关系

同向：速率增大；反向：速率减小。

加速度的正负表示方向，不表示加速或减速。

速度大，加速度不一定大；速度为零，加速度不一定为零。

有限时间内的比值给出平均加速度；加速度恒定时，它也等于各时刻的加速度。

1.3 — 1.5 · 图像

运动图像的对应

先读纵轴，再看正负、斜率与面积。

物体沿同一条直线先向左、再向右；图像曲线不是运动轨迹。

x-t

：纵坐标是位置；斜率是速度。

v-t

：纵坐标是速度；斜率是加速度。

a-t

：纵坐标是加速度；有向面积是速度变化量。

三幅图描述的是同一段直线运动

初位置为 2 m，初速度为 −2 m/s。前 1 s 向负方向减速；1 s 时速度为零、位置为 1 m；随后向正方向加速，2 s 时回到位置 2 m。

0～2 s：位移为零，路程为 2 m；速度变化量为 +4 m/s。

$v-t$ 图中，前 1 s 的负向面积为 −1 m，后 1 s 的正向面积为 +1 m，位移相加为零。 $a-t$ 图中 0～2 s 的面积为 $2\times2=4\,\mathrm{m/s}$ 。

看哪里	$x-t$	$v-t$	$a-t$
纵轴正负	在原点哪一侧	运动方向	加速度方向
斜率	速度	加速度	本章不作重点
与时间轴围成的有向面积	本章无常用意义	位移	速度变化量
交点	相遇（同一坐标系）	速度相同	加速度相同
横截距	到达原点的时刻	速度为零的时刻	加速度为零的时刻
纵截距	初位置	初速度	初加速度

图线不是运动轨迹；位置的正负不表示运动方向。求位置还需初位置，求速度还需初速度。

1.5 · 图像

特殊纵轴的读图方法

先读纵轴含义，还原位置，再按定义求位移或平均速度。

x/t

不一定是瞬时速度。

纵轴为 $x/t$

纵轴读数乘以时刻 t，得到位置 x。

x(1)=4\times1=4\,\mathrm m

x(2)=2\times2=4\,\mathrm m

所以 1～2 s 的位移为零。中间位置曾到达 4.5 m，路程不为零。

单位为 m/s²，不代表纵轴就是加速度。

纵轴为 $x/t^2$

纵轴读数乘以 t²，得到位置 x。

x(1)=3\times1^2=3\,\mathrm m

x(3)=1\times3^2=9\,\mathrm m

\bar v_{1\to3}=\frac{9-3}{3-1}=3\,\mathrm{m/s}

1.2 — 1.4 · 实验

纸带测速与加速度

打点计时器

利用交流电的周期性，按相等时间间隔在纸带上留下点迹；点迹记录对应时刻的位置。

仪器	工作原理	电源
电磁打点计时器	交流电使振片周期性振动，振针通过复写纸打点	低压交流；本课件仪器为 6 V，按铭牌使用
电火花计时器	周期性火花放电，使墨粉在纸带上留下点迹	220 V 交流

01记录运动

纸带穿过计时器，与小车相连；小车起初紧靠计时器。

安装器材，纸带、细绳与运动方向保持一致。
先接通电源，再释放小车。
结束后断电，选取点迹清晰、连续的一段纸带。
选一个点为计数起点，依次标号；它不一定是释放点。

02由纸带求 D 点的速度

示例：每相邻两个计数点之间有 4 个未标号的计时点，即 5 个打点间隔。

电源频率为 $f=50\,\mathrm{Hz}$ ，打点周期 $T=1/f=0.02\,\mathrm{s}$ 。

C 到 E 跨过两段计数间隔，故 $n=2\times(4+1)=10$ ，所用时间为 0.20 s。数的是时间间隔，不是点的个数。

$d_3$ 、 $d_5$ 都从 O 点量起；用较短 CE 段的平均速度近似 D 点速度；匀变速时严格相等。

图中 $d_3=10.5\,\mathrm{cm}$ ， $d_5=22.5\,\mathrm{cm}$ 。

v_D\approx\frac{(22.5-10.5)\times10^{-2}}{10\times0.02}=0.60\,\mathrm{m/s}

03求加速度

示例数据：点分布在直线两侧。P、Q 是直线上相距较远的两点。

图像法

横轴标时间，纵轴标速度，写明单位，选好标度。
用铅笔准确描点，再用直尺画一条直线，让点尽量均匀分布在直线两侧。
直线延伸到纵轴，且不超出坐标轴所表示的范围。
从直线上取相距较远的 P、Q 两点，用斜率求加速度。

a=\frac{0.75-0.25}{0.55-0.05}=1.0\,\mathrm{m/s^2}

易错点
不用铅笔、直尺；逐点直接连接；直线没有延伸到坐标轴；直线超出坐标轴。

不强迫直线过原点；读斜率所用两点应取自直线，不必是原来的实验点。

04检查与判断

时间间隔别混淆

打点周期是 0.02 s，本例计数间隔是 0.10 s；求 D 点速度用的是两段计数间隔，共 0.20 s。

频率变化怎么判断

若实际频率高于 50 Hz，却仍按 50 Hz 计算：真实时间更短，所用时间偏大，求得的速度、加速度都偏小。实际频率偏低时，结果相反。

起点与测量

小车初始应紧靠计时器，以保留足够长的有效纸带。各位置统一从 O 点量起，读数时视线正对刻度。

选有效过程

取小车受持续牵引、点迹清晰的一段；不使用重物落地以后或小车被阻挡的点迹。

1.3 · 测量速度

光电门测速

仪器记录的是光束被遮挡的时间。

先量出遮光片沿运动方向的宽度 d，再记录它挡光的时间。宽度小、挡光期间速度变化很小时，用这段平均速率近似经过光电门时的速率。

所得为速率；求速度时还需确定方向。

一个门与两个门，测量区间不同

单个门的挡光时间，对应遮光片宽度 d；两门测速若记录同一前沿经过两道光束的间隔，则用两道光束的间距除以这段时间，得到两门之间的平均速度，不能把两种距离混用。

1.5 · 测量方法

传感器测速度

先测位置，再用位置的变化量除以采样间隔。

认清声波走的是单程还是往返，再选测距关系。

光与声音同时发射

忽略光传播时间，声音相对光迟到的时间就是单程传播时间。

同一个探头发出并接收回波

记录的是往返时间，声波路程为两倍距离。

由位置变化求平均速度

\bar v=\frac{x_2-x_1}{\Delta t}

两次测距使用同一坐标系。光、声双信号中，Δt 为两次发射的间隔，不是声音传播时间。

运动的描述

研究对象与时空

运动的快慢与变化

图像与读图方法

从记录到测量

公式速览

时间、位置与速度

速度变化与加速度

分段运动的平均速度

纸带测速与加速度

光电门测速

传感器测距与测速

质点与参考系

质点

参考系

时刻与坐标系

时刻与时间间隔

坐标系的三要素

位移、路程与矢量

位移

路程

矢量

标量

平均速度与瞬时速度

速度：描述位置变化的快慢和方向

速率：只描述快慢

分段运动的平均速度

速度变化与加速度

方向关系

运动图像的对应

三幅图描述的是同一段直线运动

特殊纵轴的读图方法

纵轴为 x/tx/tx/t

纵轴为 x/t2x/t^2x/t2

纸带测速与加速度

打点计时器

01记录运动

02由纸带求 D 点的速度

03求加速度

图像法

04检查与判断

时间间隔别混淆

频率变化怎么判断

起点与测量

选有效过程

光电门测速

一个门与两个门，测量区间不同

传感器测速度

光与声音同时发射

同一个探头发出并接收回波

由位置变化求平均速度

纵轴为 $x/t$

纵轴为 $x/t^2$